A Simple Search…

Let’s have a look at some easygoing questions which you can solve by trying every possible case. But we should find more efficient solutions to those questions. You know what I mean… Rather than counting by fingers, we are going to find a solution which would give the direct answer without any counting. First, let me give an example of that kind of questions.

Suppose you are flipping a coin. You write down the result in every single flipping as heads or tails. …

Definition

Given two circles ω1 and ω2 with distinct centres, the radical axis of the circles is the set of points P such that,

Powω1 (P) = Powω2 (P).

This might seem rather confusing definition as P seems to be a phantom point. However, in other words, we can define the radical axis as follows.

Let ω(1) and ω(2) be circles with distinct centres O(1) and O(2).
The radical axis of ω1 and ω2 is a straight line perpendicular to O(1)O(2).

Bu ay, geçen aydan farklı olarak bir sonlu matematik sorusuyla değil, bir sayılar teorisi sorusuyla karşınızdayız.

Sorumuz oldukça kısa:

a ve b tamsayılar olmak üzere

(a² + b² + 3)/ab ifadesinin tamsayı olmasını sağlayan tüm (a,b) tamsayı ikilileri nelerdir?

Sorunun cevabını 1 hafta sonra yayınlanacak olan cevap videosunda ve Medium sayfamızda yayınlayacağımız makalede bulabilirsiniz!

A² + b² + 3, ab ye bölünecek şekilde kaç (a,b) tamsayı ikilisi vardır?

Şimdi önce negatiflik, pozitiflik durumuna bakalım. Eğer bir (a,b) ikilisi şartı sağlarsa, (-a,b), (a,-b) ve

(-a,-b) de verilen şartı sağlar. Bundan dolayı sadece pozitif (a,b) ikililerini bulsak yeter. (a,b) bir çözüm ise (b,a) da bir çözüm olduğundan genelliği bozmadan a>=b kabul edelim.

Öncelikle b=1 durumunu inceleyelim.

a1 I. a² + 1² + 3 = a² + 4

Buradan (2,1), (1,1), ve (4,1) ikilileri gelir.

S kümesi şöyle tanımlansın:

S = { (a,b) : (a² + b² + 3) / ab bir tamsayı ve a>b, b>1. }

…

IMO (International Mathematical Olympiad) is a competition to which a lot of high school students from different countries attend. The students who attend to IMO are qualified to be a member of their country’s national math team. The Olympiad takes 2 days and each day students are given four and a half hours to solve 3 problems selected by the Problem Selection Committee. The participating countries except the host country are expected to propose up to six questions, with solutions.

From Regulations IMO:

The aims of the IMO are:

 to discover, encourage and challenge mathematically gifted young people in…

Let’s denote such angles with ∡ . Since this is not a standard notation, if you would like to use it somewhere, do not forget to mention this in your first sentences.

Here is how it works:

First, we consider ∠ABC to be positive if the vertices A, B, C appear in clockwise order, and negative otherwise. In particular, ∠ABC ≠∠CBA; they are negatives.

Then, we are taking the angles modulo 180◦. For example,

−150◦ = 30◦ = 210◦

(From “Euclidian Geometry In Mathematical Olympiads” by Evan Chen)

For example,

Haziran ayı itibariyle başlattığımız “Ayın Sorusu” sorularının ilki ile karşınızdayız. Ayın sorusunun cevabını ise her ayın 8’inde sayfamızda bulabilirsiniz!

Hemen soruya geçelim.

15 voleybol takımından oluşan bir eleme grubunda her takım diğer takımlardan her biriyle tam olarak 1 kez karşılaşıyor. Oyunların hiçbiri beraberlikle sonuçlanmıyor. Toplam yenilgi sayısı N’yi aşmayan bütün takımlar bir sonraki tura geçiyor. En az 7 takımın tur atlamasını olanaklı kılan N sayılarından en küçüğünü kaçtır?

Anlaşılması için bir örnek verelim. Diyelim ki N sayısı 10, o zaman yenilgi sayısı 10'u aşmayan yani yenilgi sayısı 0 ile 10 arasında değişen tüm takımlar bir sonraki tura geçebiliyor. Bu şekilde bir sonraki tura geçebilen takım sayısının 7'den büyük eşit olmasını istiyoruz. N sayısını en fazla ne kadar küçük tutabiliriz?

Umarım sizin için uğraşması keyifli bir soru olur!

Lets’s jump straight into the theorem and the proof.

Theorem

Let a, b and c be the length of the sides of the triangle ABC. Let x be the length of the cevian to the side of length a, a = BC . If the cevian of If the cevian divides the side of length a, into two segments of length m and n, with m adjacent to c and n adjacent to b, then Stewart’s Theorem states that:

(mb² + nc²) / (m + n) — mn = x²

Proof

In this proof, we will be using the Cosine Theorem to…